TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA
A. TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.
Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska
tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau
Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari
premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis,
sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A →
B (Premis)
(2) C →
B (premis)
(3) (A
V C) →
B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat
ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) →
B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan
alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan
perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2. [(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan
majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan
majemuk [(p q) ʌ
p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a. (p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ
q) q ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T
.............(Tautologi)[3]
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk
dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true)
atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan
majemuk (p ʌ q) q yaitu:
|
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q
merupakan Tautologi.
b. q (p v q)
penyelesaian:
q (p v
q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T
v p
T
............(Tautologi)
B. KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk
pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah
pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan
tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan
menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai
F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]
Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan
majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan
alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
C. Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran
sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan
majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi
Logika:
1. Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
2. Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v
r p v (q v r)
3. Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p v
q) ʌ (p v r)
4. Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
5. Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
6. Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
7. Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
8. Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
9. Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
10. Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
11. Hukum T dan F:
~T F
~F T
12. Hukum implikasi ke and/or:
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang
bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan
tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan
memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat
yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:
1. Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p
Jawab:
~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)
~p ʌ (q v ~q)
~p ʌ T
~p ...........(terbukti)
2. Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ʌ ~q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
Dari tabel diatas pada
kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar